Cours

Une fraction $\frac{a}{b}$ partage l'unité en $b$ parts égales, on en prend $a$.

Simplifier : diviser le numérateur et le dénominateur par leur PGCD jusqu'à une fraction irréductible. Ex. $\frac{15}{20}=\frac{3}{4}$.

Additionner : mettre au même dénominateur d'abord. $\frac{1}{4}+\frac{2}{3}=\frac{3}{12}+\frac{8}{12}=\frac{11}{12}$.

Multiplier : $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$, puis simplifier.

Piège : on n'additionne jamais les dénominateurs.

Le PGCD de deux entiers est le plus grand entier qui les divise tous les deux.

Algorithme d'Euclide : $PGCD(a,b)=PGCD(b,\ a\bmod b)$ jusqu'à un reste nul. Ex. $PGCD(24,36)$ : $36=24+12$, $24=2\times12$ → PGCD $=12$.

Deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD vaut $1$. Le PGCD sert à rendre une fraction irréductible.

Ordre des opérations :

1. parenthèses ;
2. puissances ;
3. $\times$ et $\div$ (de gauche à droite) ;
4. $+$ et $-$ (de gauche à droite).

Ex. $5+3\times2=5+6=11$ (et non $16$). $(5+3)\times2=8\times2=16$ : les parenthèses changent tout.

$a^n$ est le produit de $n$ facteurs égaux à $a$.

Règles (même base) : $a^m\times a^n=a^{m+n}$ $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ $(a^m)^n=a^{mn}$ $a^0=1$ et $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$.

Puissances de 10 / notation scientifique : $3200=3{,}2\times10^3$. Piège : $2^3\times2^2=2^5$ (on garde la base).

$p\,\%$ de $N$ vaut $\dfrac{p}{100}\times N$. Ex. $25\%$ de $80=20$.

Augmenter de $p\%$ : multiplier par $\left(1+\dfrac{p}{100}\right)$. Diminuer : par $\left(1-\dfrac{p}{100}\right)$.

Repères : $50\%=\div2$, $25\%=\div4$, $10\%=\div10$.

Distributivité simple : $k(a+b)=ka+kb$. Ex. $3(x+2)=3x+6$. Double : $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$.

Réduire : regrouper les termes semblables. $2x+5+3x-1=5x+4$. Factoriser : repérer un facteur commun. $6x+9=3(2x+3)$.

Identités remarquables : $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ ; $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse égale la somme des carrés des deux autres côtés. Si l'angle droit est en A : $BC^2=AB^2+AC^2$.

Hypoténuse : $BC=\sqrt{AB^2+AC^2}$. Ex. $AB=3,\ AC=4$ → $BC=\sqrt{25}=5$.

Réciproque : si $BC^2=AB^2+AC^2$, le triangle est rectangle en A. Triplets utiles : $(3,4,5),(5,12,13),(8,15,17)$.

Périmètre = longueur du tour ; aire = mesure de la surface.

Rectangle : périmètre $2(L+l)$, aire $L\times l$. Carré : $4c$ et $c^2$. Triangle : aire $\dfrac{b\times h}{2}$. Disque : circonférence $2\pi r$, aire $\pi r^2$.

Ne pas confondre rayon $r$ et diamètre $d=2r$ ; vérifier les unités.

Deux grandeurs sont proportionnelles si l'on passe de l'une à l'autre en multipliant par un même nombre (le coefficient).

Quatrième proportionnelle (produit en croix) : si $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{x}$ alors $x=\dfrac{b\times c}{a}$. Ex. 3 stylos $=4{,}50$ € → 5 stylos $=\dfrac{4{,}50\times5}{3}=7{,}50$ €.

Pourcentages, échelles et vitesses sont des cas de proportionnalité.

Longueurs : $1\,\text{km}=1000\,\text{m}$, $1\,\text{m}=100\,\text{cm}=1000\,\text{mm}$. Masses : $1\,\text{kg}=1000\,\text{g}$. Contenances : $1\,\text{L}=1000\,\text{mL}$. Durées : $1\,\text{h}=60\,\text{min}=3600\,\text{s}$.

Vers une unité plus petite : on multiplie ; vers une plus grande : on divise.

Moyenne $=\dfrac{\text{somme des valeurs}}{\text{nombre de valeurs}}$.

Médiane : valeur qui partage la série triée en deux moitiés (valeur centrale si le nombre de valeurs est impair).

Étendue $=$ valeur maximale $-$ valeur minimale (elle mesure la dispersion).

Probabilité d'un événement $=\dfrac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}$, toujours entre $0$ et $1$.

Événement impossible : $0$ ; certain : $1$. Ex. tirer une rouge parmi 3 rouges et 5 bleues : $\dfrac{3}{8}$.

Une fonction affine s'écrit $f(x)=ax+b$ ; sa représentation est une droite. $a$ = coefficient directeur (pente) ; $b$ = ordonnée à l'origine. Si $b=0$ : fonction linéaire (proportionnalité).

Image de $x_0$ : $f(x_0)=ax_0+b$. Antécédent de $y$ : résoudre $ax+b=y$. Entre deux points : $a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$.

Dans un repère, le vecteur $\vec{AB}$ a pour coordonnées $(x_B-x_A\ ;\ y_B-y_A)$.

Deux vecteurs sont égaux s'ils ont les mêmes coordonnées (même direction, même sens, même longueur). La translation de vecteur $\vec{u}$ transforme A en A' tel que $\vec{AA'}=\vec{u}$.